О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 1. Отыскание алгебраических интегралов

The method of M.N. Lagutinski (1871-1915) allows to find rational integrals and Darboux polynomials for given differential ring and thus can be used for integration of ordinary differential equations in symbolic form. A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations. In the first part of the article basic concepts of the Lagutinski method is briefly stated for polynomials rings. Then this method is applied to search of algebraic integrated curves for given ordinary differential equations of the form d + d withМетод М.Н. Лагутинского (1871-1915) позволяет искать рациональные интегралы и многочлены Дарбу заданного дифференциального кольца и поэтому может быть использован при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде. В настоящей статье представлена реализация метода Лагутинского, выполненная в свободной системой компьютерной алгебры Sage, и дан обзор её возможностей по интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка в символьном виде. В первой части статьи кратко изложены основные понятия метода Лагутинского для полиномиальных колец, затем этот метод приложен к отысканию алгебраических интегральных кривых дифференциальных уравнений вида d +

О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 2. Интегрирование в квадратурах

The method of M.N. Lagutinski (1871-1915) allows to find rational integrals and Darboux polynomials for given differential ring and thus can be used for integration of ordinary differential equations in symbolic form. A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations. The second part is devoted to integration of given differential equation d + d withМетод М.Н. Лагутинского (1871-1915) позволяет искать рациональные интегралы и многочлены Дарбу заданного дифференциального кольца и поэтому может быть использован при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде. В настоящей статье представлена реализация метода Лагутинского, выполненная в свободной системой компьютерной алгебры Sage, и дан обзор её возможностей по интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка в символьном виде. Вторая часть статьи посвящена интегрированию в квадратурах заданного дифференциального уравнения вида d +

О нормальных модах закрытого волновода с разрывным заполнением

We consider a waveguide of a constant cross-section S with ideally conducting walls. We assume that the filling of waveguide doesn’t change along its axis and is described by the piecewise continuous functions and m defined on waveguide cross-section. We show that it is possible to make substitution which allows to work only with continuous functions. Instead of noncontinuous cross-components of an electromagnetic field ⃗Рассматривается волновод постоянного поперечного сечения S с идеальным проведением стенками. Предполагается, что заполнение волновода не изменяется вдоль его оси и описывается кусочными непрерывными функциями и m на поперечном сечении волновода. Показано, что возможно сделать замену переменных, которая позволяет работать только с непрерывными функциями. Вместо разрывных поперечных компонент электромагнитного поля ⃗E и ⃗ H мы предлагаем использовать четыре потенциала ue,uh и ve,vh. Мы можем доказать как обобщение теоремы Тихонова-Самарского, что любое поле в волноводе допускает представление в такой форме, если мы рассматриваем потенциалы ue,uh как элементы пространства Соболева W21(S), а потенциалы ve,vh, как элементы пространства Соболева W21(S). Если ϵ и m - кусочные постоянные функции, то уравнения Максвелла, записанные в четырёх потенциалах, сводятся к двум независимым системам. Это обстоятельство даёт нам новый подход к исследованию спектральных свойств волноводов. Во-первых, мы можем доказать полноту системы нормальных волн в закрытых волноводах, используя стандартные функциональные пространства. Во-вторых, мы можем предложить новую технику для вычисления нормальных волн, используя стандартные конечные элементы. В конце статьи представлена программа, написанная на языке FreeFem++, для вычисления дисперсионных линий волновода. Также рассмотрен вопрос о вычислении мод при больших значениях <i

Normal modes of a waveguide as eigenvectors of a self-adjoint operator pencil

A waveguide with a constant, simply connected section is considered under the condition that the substance filling the waveguide is characterized by permittivity and permeability that vary smoothly over the section ?, but are constant along the waveguide axis. Ideal conductivity conditions are assumed on the walls of the waveguide. On the basis of the previously found representation of the electromagnetic field in such a waveguide using 4 scalar functions, namely, two electric and two magnetic potentials, Maxwell’s equations are rewritten with respect to the potentials and longitudinal components of the field. It appears possible to exclude potentials from this system and arrive at a pair of integro-differential equations for longitudinal components alone that split into two uncoupled wave equations in the optically homogeneous case. In an optically inhomogeneous case, this approach reduces the problem of finding the normal modes of a waveguide to studying the spectrum of a quadratic self-adjoint operator pencil.В статье рассматривается волновод постоянного односвязного сечения при условии, что заполняющее волновод вещество характеризуется диэлектрической и магнитной проницаемостями, меняющимися плавно на сечении ?, но постоянными вдоль оси волновода. На стенках волновода взяты условия идеальной проводимости. На основе найденного ранее представления электромагнитного поля в таком волноводе при помощи четырёх скалярных функций - двух электрических и двух магнитных потенциалов - уравнения Максвелла записаны относительно потенциалов и продольных компонент поля. Из этой системы удаётся исключить потенциалы и записать пару интегро-дифференциальных уравнений относительно одних продольных компонент, расщепляющихся на два несвязанных волновых уравнения в оптически однородном случае. В оптически неоднородном случае этот подход позволяет свести задачу об отыскании нормальных мод волновода к исследованию спектра квадратичного самосопряжённого операторного пучка

On involutive division on monoids

We consider an arbitrary monoid ?, on which an involutive division is introduced, and the set of all its finite subsets Set?. Division is considered as a mapping ∶ Set? × ?, whose image ?(?,?) is the set of divisors of in ?. The properties of division and involutive division are defined axiomatically. Involutive division was introduced in accordance with the definition of involutive monomial division, introduced by V.P. Gerdt and Yu.A. Blinkov. New notation is proposed that provides brief but explicit allowance for the dependence of division on the Set? element. The theory of involutive completion (closures) of sets is presented for arbitrary monoids, necessary and sufficient conditions for completeness (closedness) - for monoids generated by a finite set ?. The analogy between this theory and the theory of completely continuous operators is emphasized. In the last section, we discuss the possibility of solving the problem of replenishing a given set by successively expanding the original domain and its connection with the axioms used in the definition of division. All results are illustrated with examples of Thomas monomial division.Рассматривается произвольный моноид ?, на котором введено инволютивное деление, и множество всех его конечных подмножеств Set?. Деление рассматривается как отображение ∶ Set? × ?, образ которого ?(?,?) - множество делителей в ?. Свойства деления и инволютивного деления задаются аксиоматически. Понятия инволютивного деления введено в соответствии с определением инволютивного мономиального деления, введённым В.П. Гердтом и Ю.А. Блинковым. Предложен ряд новых обозначений, позволяющих коротко, но явно учитывать зависимость деления от элемента Set?. Теория инволютивного пополнения (замыкания) множеств изложена для произвольных моноидов, необходимые и достаточные условия полноты (замкнутости) - для моноидов, порождённых конечным множеством ?. Подчёркнута аналогия между этой теорией и теорией вполне непрерывных операторов. В последнем разделе обсуждена возможность решения задачи о пополнении заданного множества путём последовательного расширения исходной области и её связь с аксиомами, используемыми в определении деления. Все результаты проиллюстрированы примерами о мономиальном делении Томаса

On the realization of explicit Runge-Kutta schemes preserving quadratic invariants of dynamical systems

We implement several explicit Runge-Kutta schemes that preserve quadratic invariants of autonomous dynamical systems in Sage. In this paper, we want to present our package ex.sage and the results of our numerical experiments. In the package, the functions rrk_solve, idt_solve and project_1 are constructed for the case when only one given quadratic invariant will be exactly preserved. The function phi_solve_1 allows us to preserve two specified quadratic invariants simultaneously. To solve the equations with respect to parameters determined by the conservation law we use the elimination technique based on Gröbner basis implemented in Sage. An elliptic oscillator is used as a test example of the presented package. This dynamical system has two quadratic invariants. Numerical results of the comparing of standard explicit Runge-Kutta method RK(4,4) with rrk_solve are presented. In addition, for the functions rrk_solve and idt_solve, that preserve only one given invariant, we investigated the change of the second quadratic invariant of the elliptic oscillator. In conclusion, the drawbacks of using these schemes are discussed.Авторами реализовано несколько явных схем Рунге-Кутты, которые сохраняют квадратичные инварианты автономных динамических систем в Sage. В статье представлен пакет ex.sage и результаты численных экспериментов. В пакете функции rrk_solve, idt_solve и project_1 построены для случая, когда только один заданный квадратичный инвариант будет сохранён точно. Функция phi_solve_1 позволяет сохранить одновременно два указанных квадратичных инварианта. Для решения уравнений относительно параметров, определяемых законом сохранения, использована методика исключения на основе базисов Грёбнера, реализованная в Sage. В качестве тестового примера представленного пакета используется эллиптический осциллятор. Эта динамическая система имеет два квадратичных инварианта. Представлены численные результаты сравнения стандартного явного метода Рунге-Кутты RK(4,4) с rrk_solve. Кроме того, для функций rrk_solve и idt_solve, сохраняющих только один инвариант, исследовано изменение второго квадратичного инварианта эллиптического осциллятора. В заключение рассматриваются недостатки использования этих схем

Richardson-Kalitkin method in abstract description

An abstract description of the Richardson-Kalitkin method is given for obtaining a posteriori estimates for the proximity of the exact and found approximate solution of initial problems for ordinary differential equations (ODE). The problem is considered, the solution of which results in a real number ?. To solve this problem, a numerical method is used, that is, the set ⊂ ℝ and the mapping ?ℎ ∶ → ℝ are given, the values of which can be calculated constructively. It is assumed that 0 is a limit point of the set and ?ℎ can be expanded in a convergent series in powers of ℎ: ?ℎ = + ?1ℎ? + …. In this very general situation, the Richardson-Kalitkin method is formulated for obtaining estimates for and from two values of ?ℎ. The question of using a larger number of ?ℎ values to obtain such estimates is considered. Examples are given to illustrate the theory. It is shown that the Richardson-Kalitkin approach can be successfully applied to problems that are solved not only by the finite difference method.Дано абстрактное описание метода Ричардсона-Калиткина для получения апостериорных оценок близости точного и найденного приближённого решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Рассматривается задача ?, результатом решения которой является вещественное число ?. Для решения этой задачи используется численный метод, то есть заданы множество ⊂ ℝ и отображение ?ℎ ∶ → ℝ, значения которого имеется возможность вычислять конструктивно. При этом предполагается, что 0 является предельной точкой множества ?, ?ℎ можно разложить в сходящийся ряд по степеням ℎ: ?ℎ = + ?1ℎ? + …. В этой весьма общей ситуации сформулирован метод Ричардсона-Калиткина получения оценок для и по двум значениям ?ℎ. Рассмотрен вопрос об использовании большего числа значений ?ℎ для получения такого рода оценок. Приведены примеры, иллюстрирующие теорию. Показано, что подход Ричардсона-Калиткина с успехом может быть применён к задачам, которые решаются не только методом конечных разностей

Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка

Article is devoted to search of algebraic integrals of the ordinary differential equations in the systems of computer algebra. The main attention is paid to development of practical instructions for work with an original package for Sage called in honor of M. N. Lagutinski. At the beginning of article Beaune’s problem is formulated: for a given differential equation, we need to identify whether it is in the form of rational integral, and if the answer is true, we need to quadrature it. The difficulties of finding the upper bound of the integral order and its value for solving differential equations practically are discussed, bounded Beaune’s problem is formulated. Our work is based on the method of M. N. Lagutinski. The theory and its realization are tested on the problems from Text-Book on Differential Equations by A. F. Filippov. The numerical experiments, which were carried out, show that the method makes it possible to identify the existence of the rational integral without taking much resources and time. However, using the method to calculate integrals is very time-consuming. In conclusion, recommendations on the optimal use of the method of Lagutinski are given. All calculations are executed in the computer algebra system Sage.Статья посвящена отысканию алгебраических интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной алгебры, основной акцент сделан на выработку практических указаний по работе с оригинальным пакетом Lagutinski for Sage. В начале статьи формулируется задача Дебона: для заданного дифференциального уравнения pdx + qdy = 0, где p, q - многочлены из кольца [x,y], выяснить, имеет ли оно рациональный интеграл, и в случае утвердительного ответа предъявить этот интеграл. Обсуждена проблема отыскания верхней грани для порядка интеграла и её значение для решения дифференциальных уравнений на практике, сформулирована ограниченная задача Дебона. В основу решения задачи положен метод М. Н. Лагутинского и его реализация в системе компьютерной алгебры Sage. Теория и её реализация протестированы на примерах из задачника А. Ф. Филиппова. Проделанные численные эксперименты свидетельствуют, что метода позволяет на практике без особых затрат ресурсов и времени идентифицировать наличие рационального интеграла, однако является весьма затратной как метод вычисления этого интеграла. В заключении даны рекомендации по оптимальному использованию метода М. Н. Лагутинского. Все вычисления выполнены в системе компьютерной алгебры Sage

On conjugate difference schemes: the midpoint scheme and the trapezoidal scheme

The preservation of quadratic integrals on approximate solutions of autonomous systems of ordinary differential equations ?̇ = ?(?), found by the trapezoidal scheme, is investigated. For this purpose, a relation has been established between the trapezoidal scheme and the midpoint scheme, which preserves all quadratic integrals of motion by virtue of Cooper’s theorem. This relation allows considering the trapezoidal scheme as dual to the midpoint scheme and to find a dual analogue for Cooper’s theorem by analogy with the duality principle in projective geometry. It is proved that on the approximate solution found by the trapezoidal scheme, not the quadratic integral itself is preserved, but a more complicated expression, which turns into an integral in the limit as Δ? → 0. Thus the concept of conjugate difference schemes is investigated in pure algebraic way. The results are illustrated by examples of linear and elliptic oscillators. In both cases, expressions preserved by the trapezoidal scheme are presented explicitly.В статье исследован вопрос о сохранении квадратичных интегралов на приближённых решениях автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений ?̇ = ?(?), найденных по схеме трапеций. Установлена связь между схемой трапеции и схемой средней точки, которая сохраняет все квадратичные интегралы движения в силу теоремы Купера. Эта связь позволяет рассматривать схему трапеций как двойственную к схеме средней точки и отыскать двойственный аналог для теоремы Купера. Доказано, что на приближённом решении, найденном по симметрической схеме, сохраняется не сам квадратичный интеграл, а более сложное выражение, которое переходит в интеграл в пределе при Δ? → 0. Результаты проиллюстрированы примерами - линейным и эллиптическим осцилляторами. В обоих случаях в явном виде выписаны выражения, которые сохраняет схема трапеций

On the many-body problem with short-range interaction

The classical problem of the interaction of charged particles is considered in the framework of the concept of short-range interaction. Difficulties in the mathematical description of short-range interaction are discussed, for which it is necessary to combine two models, a nonlinear dynamic system describing the motion of particles in a field, and a boundary value problem for a hyperbolic equation or Maxwell’s equations describing the field. Attention is paid to the averaging procedure, that is, the transition from the positions of particles and their velocities to the charge and current densities. The problem is shown to contain several parameters; when they tend to zero in a strictly defined order, the model turns into the classical many-body problem. According to the Galerkin method, the problem is reduced to a dynamic system in which the equations describing the dynamics of particles, are added to the equations describing the oscillations of a field in a box. This problem is a simplification, different from that leading to classical mechanics. It is proposed to be considered as the simplest mathematical model describing the many-body problem with short-range interaction. This model consists of the equations of motion for particles, supplemented with equations that describe the natural oscillations of the field in the box. The results of the first computer experiments with this short-range interaction model are presented. It is shown that this model is rich in conservation laws.В статье рассматривается классическая задача о взаимодействии заряженных частиц в рамках представления о близкодействии. Обсуждаются трудности математического описания близкодействия, для чего необходимо объединение двух моделей - нелинейной динамической системы, описывающей движение частиц в поле, и краевой задачи для гиперболического уравнения или уравнений Максвелла, описывающих поле. Уделено внимание процедуре осреднения, то есть перехода от положений частиц и их скоростей к плотностям заряда и тока. Показано, что задача содержит несколько параметров, при стремлении которых к нулю в строго определённом порядке рассматриваемая модель переходит в классическую задачу многих тел. По методу Галёркина эта задача сведена к динамической системе, в которой к уравнениям, описывающим динамику частиц, добавляются уравнения, описывающие колебания поля в ящике. Эта задача представляет собой упрощение, отличное от того, которое ведёт к классической механике. Её предлагается рассматривать как простейшую математическую модель, описывающую задачу многих тел с близкодействием. Эта модель состоит из уравнений движения частиц, к которым добавлены уравнения, описывающие собственные колебания поля в ящике. Представлены результаты первых компьютерных экспериментов с этой моделью близкодействия. Показано, что модель богата законами сохранения